SVM

الاثبات كامل

شرح طريقة حل الدكتور في السلايدز اللي مش مقتنع بيها بجنيه

1. اختيار الـ Support Vectors

أول حاجة بنختار نقط (Support Vectors) من الداتا اللي موجودة عندنا ودي بتبقى النقط اللي قريبة من الخط اللي بيفصل بين الclasses النقط اللي اختارناها هنا:

• $S_1=(2,1)$
• $S_2=(2,-1)$
• $S_3=(4,0)$

---

2. نزود الـ Bias

علشان نحط الـ bias بنضيف رقم 1 لكل نقطة في الاخر:

• ${\tilde{S}}_1=(2,1,1)$
• ${\tilde{S}}_2=(2,-1,1)$
• ${\tilde{S}}_3=(4,0,1)$

---

3. نكتب المعادلات من الشروط

بنبني المعادلات على أساس إن:

• الclasses السالبة (-ve) تطلع = -1
• الclasses الموجبة (+ve) تطلع = +1

المعادلات:

1. ${\alpha }_1{\tilde{S}}_1\cdot {\tilde{S}}_1+{\alpha }_2{\tilde{S}}_2\cdot {\tilde{S}}_1+{\alpha }_3{\tilde{S}}_3\cdot {\tilde{S}}_1=-1$
2. ${\alpha }_1{\tilde{S}}_1\cdot {\tilde{S}}_2+{\alpha }_2{\tilde{S}}_2\cdot {\tilde{S}}_2+{\alpha }_3{\tilde{S}}_3\cdot {\tilde{S}}_2=-1$
3. ${\alpha }_1{\tilde{S}}_1\cdot {\tilde{S}}_3+{\alpha }_2{\tilde{S}}_2\cdot {\tilde{S}}_3+{\alpha }_3{\tilde{S}}_3\cdot {\tilde{S}}_3=+1$

---

4. نعوض بالقيم ونبسط المعادلات

نحسب الdot product لكل نقطتين وندخل القيم في المعادلات ونبسطها:

1. $6{\alpha }_1+4{\alpha }_2+9{\alpha }_3=-1$
2. $4{\alpha }_1+6{\alpha }_2+9{\alpha }_3=-1$
3. $9{\alpha }_1+9{\alpha }_2+17{\alpha }_3=+1$

---

5. نحل المعادلات ونطلع قيم ألفا (α)

بعد الحل:

${\alpha }_1=-3.25,{\alpha }_2=-3.25,{\alpha }_3=3.5$

---

6. نحسب وزن الخط (w)

نجيب ال$w$ باستخدام المعادلة:

$\tilde{w}=\sum {\alpha }_i{\tilde{S}}_i$

نعوض:

$\tilde{w}=(-3.25)(2,1,1)+(-3.25)(2,-1,1)+(3.5)(4,0,1)$

نحسبها:

$\tilde{w}=(1,0,-3)$

---

7. معادلة الخط الفاصل (Hyperplane)

نكتب المعادلة النهائية للخط اللي بيفصل بين الكلاسين:

$y=w^{T}x+b$

القيم:

• $w=(1,0)$
• $b=-3$

تبقى المعادلة:

$y=x_1-3$

---

الخلاصة

1. اخترنا نقط الSupport Vectors
2. ضفنا لهم bias
3. كتبنا المعادلات اللي بتمثل الفصل بين الكلاسين
4. حلينا المعادلات علشان نطلع قيم الـ $\alpha$
5. حسبنا الوزن $w$ اللي بيحدد الخط الفاصل
6. كتبنا المعادلة النهائية للخط اللي بيفصل بينهم